Средняя скорость движения

На главную Теория Задачи Учёные Шкала скоростей Карта сайта

Средняя скорость

Средняя скорость – не самое сложное понятие в кинематике. Однако для многих учащихся простота этого понятия оказывается обманчивой.
Известно, что средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь: Краткость и простота определения скрывают от некоторых учеников важные для решения задач вопросы и ответы на них.
1. Какое время следует учитывать при расчете средней скорости, если тело в пути делало остановки?
В определении указано: «…ко времени, за которое пройден этот путь”, то есть ко всему промежутку времени с момента, когда тело тронулось в этот путь (представьте, что Вы включили секундомер), до момента, когда тело преодолело этот путь (только в этот момент Вы останавливаете секундомер!). О том, что время на остановки не следует учитывать, в определении ничего не сказано (поэтому секундомер на промежуточных остановках не выключайте!). Таким образом, при расчете средней скорости следует учитывать всё время, которое ушло на преодоление пути (в том числе и время, потраченное на остановки).

2. Как правильно рассчитать среднюю скорость тела, которое начало движение в пункте А, окончило его в пункте В, но по дороге из А в В поворачивало назад (может быть ни один раз!), а затем вновь продолжало движение к пункту В?
В определении указано «…равная отношению пути, пройденного телом…”, значит, при расчете средней скорости определяющим является не расстояние между точками (пунктами) начала и окончания движения, а реальный путь, которое прошло тело.

Пример 1. Найти среднюю скорость человека на пути от дома до станции, расстояние между которыми l =800 м, если, пройдя четверть пути, он вернулся домой (например, проверить, хорошо ли закрыта дверь) и через мин продолжил путь на станцию. Скорость движения человека постоянна и равна v =4 км/ч.

Решение. Началом движения человека, конечно, следует считать момент времени, когда он первый раз вышел из дома. Четверть пути составляет расстояние l1/4 =l : 4 =800 : 4 =200 м. При возвращении домой человек прошел путь 2l1/4 =400 м. После этого он вышел из дома второй раз и дошел до станции. Путь, пройденный человеком с начала движения, составит:

S = 2l1/4 + l =400 + 800 =1200 м =1,2 км.

Время t, которое затрачено на преодоление этого пути, складывается из времени пребывания дома и времени Т, в течение которого человек двигался по маршруту «из дома–к дому–на станцию”. Поскольку скорость движения человека постоянна (v =4 км/ч) и проделанный путь известен, то время движения составляет:

1,2 км : 4 км/ч =0,3 ч =18 мин.
Тогда все время, затраченное человеком, составляет:

t =+ T = 2 + 18 =20 мин =1/3 ч.
Найдем среднюю скорость:

1,2 км : ч =3,6 км/ч.

Ответ: vср =3,6 км/ч.

Среднюю скорость движения человек оценивает довольно часто, но судит о ней, глядя на часы. Торопящийся человек соотносит расстояние, которое ещё осталось преодолеть, и время, отпущенное ему на это, после чего делает вывод (хотя числовое значение средней скорости вряд ли при этом находится): «Ну, теперь можно идти помедленнее” или «Придется еще поднажать, иначе не успею”.

Вернемся к рассмотренному примеру. Будем считать, что скорость v0 =4 км/ч выбрана человеком не случайно. проходя от дома до станции ежедневно, человек замечает, что расстояние l ==800 м, он проходит за время t0 =12 мин =0,2 ч:

= 0,8 км : 0,2 ч =4 км/ч.

По существу, это – средняя скорость, поскольку доподлинно неизвестно, с какой скоростью человек идет в каждый момент времени. Двигаясь с такой скоростью и затрачивая время t0, человек ежедневно успевает на станцию вовремя. Если приходится возвращаться домой (увеличивать путь, который надо преодолеть и на это требуется дополнительное время) или останавливаться (увеличивая время, необходимое на преодоление пути), выбранная скорость движения v0 не подходит: можно опоздать на станцию. Значит, надо увеличивать скорость движения. Но как это сделать без напрасных затрат сил?

Пример 2. Человек обычно доходит из дома до станции за время t0 =12 мин, проходя расстояние l =800 м. Однажды, пройдя четверть пути, он вспоминает, что не выключил электроприборы, и возвращается домой, выключает электроприборы, затрачивая время= 2 мин, и снова идет на станцию. С какой наименьшей скоростью надо двигаться человеку, после того как он повернул домой, чтобы успеть на станцию в обычное время (и не опоздать на электричку).

Решение.

1. Обычно человек двигается со скоростью

м/мин =4 км/ч.

3. За время Т2 человек должен преодолеть путь до дома, а затем снова до станции:
м =1 км и, кроме того, часть времени (= 2 мин) потратить дома. Поэтому путь S человеку придется преодолевать за время

ч,

то есть со скоростью, не меньшей, чем

1 км : ч =км/ч =км/ч » 8,6 км/ч.

Проверьте, что добежав до дома со скоростью км/ч, а затем шагая со скоростью v2 =2v0 =8 км/ч, человек придет на станцию вовремя.
Ответ: человеку необходимо двигаться со скоростью, не меньшей, чем км/ч. Обратите внимание, что средняя скорость за время (t =12 минут) от начала движения до его окончания составляет

м/мин =100 м/мин =6 км/ч.

Найденное значение vср в полтора раза выше, чем v0, и показывает, с какой начальной скоростью следует выходить человеку из дома, если он забывчив.

На рис.1 показан график зависимости скорости человека от времени для примера 2 в случае, если человек бежит домой со скоростью v1 =3v0 ==12 км/ч, а затем идет до станции очень быстрым шагом со скоростью v2 =2v0 =8 км/ч. Штрихпунктирной линией указан график движения со скоростью v0, а тонкой линией – со скоростью vср =6 км/ч.

Подсчитаем среднее арифметическое для значений скорости v0, v1, v2:

км/ч.

Это значение не равно значению средней скорости vср. Убедитесь в этом и не совершайте в дальнейшем распространенную ошибку: не пытайтесь искать среднюю скорость как среднее арифметическое значение (оно не имеет физического смысла!).

Пример 3. Автомобиль проезжает первую треть пути равномерно со скоростью v1 =108 км/ч, а остальные две трети пути – со скоростью v2 =72 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.
Решение. Неверно считать, что средняя скорость совпадает со средним арифметическим значением v1 и v2, которое составляет

км/ч.

1. Найдем время t1 движения со скоростью v1, полагая, что весь путь равен L . Из условия ясно, что

2. Время t2 движения на оставшемся участке пути составляет

3. Итак, время на продолжение пути L составляет

4. По определению средней скорости

км/ч.

Ответ: средняя скорость vср =81 км/ч.

Значение средней скорости совпадает со средним арифметическим значением скорости только в одном частном случае, когда тело двигается с различными скоростями так, что между последовательными моментами изменения (переключения) скорости проходит одинаковое время Т. Таким образом, тело двигается со скоростью v1 в течение времени t1=T, со скоростью v2 в течение времени t2=T, со скоростью v3 в течение времени t3=T и т.д. Если на протяжении пути скорость изменялась n раз, то пройденный путь

S =v1t1 + v2t2 + v3t3 + … +vntn =T(v1 + v2 + v3 + … +vn).

Время t, за которое пройден путь, составляет

t =t1 + t2 + t3 + … + tn =T*n.

По определению:

Не запрещено для этого частного случая двигаться со скоростью v0=0, т.е. делать остановки. Но время остановки должно составлять t0 =T.

Пример 4. Вертолет пролетает без остановок равномерно и прямолинейно над пунктами А, В, С (в указанном порядке) и возвращается в А. Пункты А, В, С являются как бы вершинами треугольника. Расстояние между А и В составляет LAB =150 км, между В и С LBC =200 км, между С и А LCA =100 км. Время, за которое вертолет пролетает от одного пункта до другого, составляет полчаса. Найти среднюю скорость движения вертолета на маршруте АВСА. Изменится ли средняя скорость, если LCA =200 км и всё расстояние вертолет преодолеет за 1 ч?

Решение. 1. Находим скорость движения вертолета на каждом участке:

км/ч;

км/ч;

км/ч.

2. Поскольку t =0,5 ч одинаково для всех участков движения, то

км/ч.

3. Если расстояние LСА =200 км и tCA =1ч, то не меняется vCA=200 км/ч. Но в этом случае нельзя подсчитывать (для простоты) среднюю скорость как среднее арифметическое, так как tCА ? tAB ==tBC.

км/ч.

Ответ: 1) vcp1 =300 км/ч; 2) vcp2 =275 км/ч.

Контрольные задания на эту тему

Мгновенная скорость движения материальной точки

Тогда за время $\Delta t=t_2-t_1$, рассматриваемая нами материальная точка совершает перемещение, равное:

\

Тогда предел отношения $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ при $\Delta t\to 0$ называют мгновенной скоростью ($\overline{v}$):

\

Из выражения (2) следует, что скорость определяют как производную от перемещения по времени:

\

В проекциях на оси декартовой системы координат вектор скорости записывают как:

\ \ \

Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:

\=\frac{\left}{\left}.\]

В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:

\=\frac{м}{с}.\]

Средняя скорость движения тела

Физическая величина, равная отношению перемещения, которое совершило тело к этому промежутку времени движения называют средней скоростью ($\left\langle v\right\rangle $) материальной точки:

\

Иногда при вычислении средней скорости используют другое ее определение: среднюю скорость считают равной отношению всего пройдённого пути (s) ко времени (t) движения тела:

\

При таком определении средняя скорость — это скалярная величина.

Формулы для вычисления скорости при движении разных видов

Если тело движется равномерно, то его скорость постоянна. Ее вычисляют при помощи выражения:

\

где $s$ — путь; $t$ — время движения. При равномерном прямолинейном движении у скорости постоянным является не только величина, но и направление, то есть можно записать:

\ \

При равнопеременном движении (при $\overline{a}=const$) скорость равна:

\

Примеры задач с решением

Пример 1

Решение: Точка движется по оси X, следовательно, скорость найдем как:

\

Подставим выражение $x(t)$ заданное в условии задачи в формулу (1.1), получим функцию $v_x(t)$:

\

Для того чтобы определить направление скорости в конкретный момент времени подставим соответствующий момент времени в (1.2) и сравним полученный результат с нулем:

\ \

и среднюю скорость, вычисленную как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей в интервале времени $\left$.

Решение: Найдем величину средней скорости, используя определение:

\

и уравнение движения:

\

Для момента времени $t’\ $ имеем:

\

Получим уравнение скорости $v\left(t\right),\ $используя формулу:

\

При $t=0$ мгновенная скорость рассматриваемого нами движения равна:

\

Конечная скорость при $t=t’$:

\

Найдем среднее арифметическое начальной и конечной скоростей на заданном отрезке времени:

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Средняя скорость потока — скорость движения жидкости, определяющаяся отношением расхода жидкости Q к площади живого сечения

Уравнение неразрывности (сплошности) потока основано на основе сохранения массы, которое было сформулировано Ломоносовым. Базируется на положении механики сплошных сред о том, что внутри движения жидкости не может образовываться пустота или разрыв потока.

Плотность жидкости принимается постоянной, тогда масса жидкости, которая пройдет через левую грань по dt:

Через правую грань:

Закон сохранения массы требует:

— уравнение неразрывности потока в дифференциальной форме для произвольного движения несжимаемой жидкости.

Левая часть – скорость относительного изменения элементарного объема жидкости (объёмное расширение – дивергенция жидкости).

div U=0

Предыдущие материалы: Следующие материалы:

  • Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнения Эйлера)
  • Уравнение Бернулли.
  • Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости.
  • Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье-Стокса)
  • Потери напора (давления) жидкости на трении

Внимание! Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *