Щербань Владимир Николаевич

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура постриманова пространства Римана-Картана типа плоской волны»

ВВЕДЕНИЕ

С самого начала создания ОТО не прекращались попытки объяснить новые явления в астрофизике и космологии путем постоянного усложнения структуры пространства-времени. Эйнштейн сделал предположение, что четырехмерное пространство-время является искривленным пространством Римана, и на этой основе создал современную теорию гравитации, названную общей теорией относительности (ОТО). Современные модели, объясняющие явления в астрофизике и космологии, основаны именно на ОТО — фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия, а также зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели, достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.

Одну из весомых ролей в этом сыграл тот факт, что общая теория относительности достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными , . Но, несмотря на все вышесказанное, в ОТО существует множество нерешенных проблем , . К ним относятся сингулярность, определение тензора энергии-импульса гравитационного поля, проблема определения начальных данных и другие. Данный факт

привел к необходимости поиска путей обобщения и модификации общей теории относительности. Одним из таких обобщений является предположение о том, что пространство-время является по свой геометрической структуре более сложной, чем риманово пространство.

Значительный интерес представляет собой изучение точных решений уравнений поля в пространствах, наделенных более сложной структурой, чем риманово пространство ОТО. Особое место здесь занимает поиск волновых решений, что обладает как теоретическим, так и возможным практическим значением — .

В настоящее время одним из обобщений ОТО является пуанкаре-калибровочная теория гравитации . Соответствие между гравитационными потенциалами и свойствами симметрии материи достигается наложением определенных ограничений на обобщенную аффинную связность. Этот подход к теории гравитации дает лучшее понимание связи между природой источников гравитационного поля и группой симметрий пространства-времени.

Группа пространства-времени в области низкой энергии, связанная с полями материи, — это группа Пуанкаре. Калибровочная теория гравитации для этой группы была рассмотрена в — , где в эта теория в математической форме была представлена Траутманом. Теория Эйнштейна-Картана естественным образом определяется в пространстве Римана-Картана . Основным свойством данной теории является связь между кручением и его источником, спиновым моментом внешнего поля .

На следующем этапе развития науки многие исследователи считают, что в области высоких энергий группа Пуанкаре заменяется на более общую группу симметрий пространства-времени. На основании этого становится возможным существование связности, несогласованной с метрикой, что дает возможность исследовать пространство с новой геометрической структурой — неметричностью. Одна из наиболее общих канонических калибровочных теорий группы пространства-времени является аффинно-метрическая теория, построенная на базе аффинно-метрического пространства. С рассмотрением пространств, являющихся более сложными, чем пространство ОТО, стала актуальной проблема нахождения и исследования возможных источников гравитационного поля в различных теориях .

Разработка и исследование современной теории гравитации основаны на использовании нелинейных по кривизне и кручению лагранжианов . Выбор лагранжиана теории является вопросом, открытым на сегодняшний день. Главная причина этого заключается в том, что прямое обобщение теории Эйнштейна-Картана приводит к теории, где часть уравнений является алгебраическими, что не является удовлетворительным фактом. Естественно, кручение может играть весомую роль только в том случае, когда нелинейные лагранжианы берутся за основу теории гравитации. В построении теории гравитации в пространстве Римана-Картана используются квадратичные лагранжианы . Большая часть квадратичных теорий гравитации в пространстве Римана-Картана являются суммой линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей тензоров кривизны и кручения.

Так, в изучались гравитационные волны в пространстве с отличным от нуля кручением в теории с лагранжианом специального вида,

состоящим из линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана, одного из шести возможных квадратов тензора кривизны и всех возможных квадратов тензора кручения. В волны кручения исследовались на фоне плоского пространства в теории с квадратичным по кривизне лагранжианом. В авторы рассматривали плоские волны в теории с квадратичным по кручению и кривизне лагранжианом без линейной части. Работа была посвящена исследованию волн кручения для 2-формы кручения алгебраически специального И-типа. В исследована структура плоских волн бесследовой части кручения, а в работе кратко приведены результаты по исследованию свойств плоских волн также следа и псевдоследа кручения.

Естественно, что появление новых теорий стимулирует огромный интерес к гравитационному эксперименту. Каждый год появляются все новые и новые работы, посвященные экспериментальному изучению различных гравитационных эффектов, различным методам их наблюдения. Существенными становятся вопросы по экспериментальному изучению кручения — , . Особое значение занимают проблемы поиска исследования волн кручения, гравитационных волн, а также волн кручения и неметричности. Пока окончательно нерешенным вопросом является и определение возможных источников таких волн.

Изучение волновых решений уравнений поля имеет достаточно давнюю историю. Естественно, здесь необходимо упомянуть о Коши. Из анализа задачи Коши для системы уравнений гравитационного и электромагнитного поля в пространстве-времени ОТО, пространстве Рима-на следует, что основные представления геометрической оптики являются общими для гравитационного и электромагнитного полей . Различные типы гравитационных волн определяются различными типами

фронта волны. Данный факт дал возможность создать общековариант-ную классификацию типов гравитационных волн в зависимости от свойств волнового фронта, определяемых заданием волнового вектора. В пространстве Римана различают сферические и плоские волны — . Данной теме огромное внимание в своих работах уделил Кундт , который не только нашел ряд волновых решений уравнений поля в пространстве Римана, но и описал их свойства. Ему удалось открыть широкий класс волновых решений уравнений поля с изотропной конгруэнцией без сдвига, растяжения и вращения. Этот класс носит название кундтов-ского класса. В кундтовский класс волновых решений входит пространство плоско фронтовой гравитационной волны с параллельными лучами, так называемые рр-волиы, другими словами пространство-время, которое допускает ковариантно постоянное изотропное векторное поле . Кроме описанного выше существует, в частности, и другой, так называемый, групповой подход к классификации волновых пространств -. Подробное описание классификации и свойств пространств в зависимости от размерности допускаемой группы симметрий дано в . Особое внимание в исследовании гравитационных волн в пространстве ОТО уделялось гравитационным волнам, носящим название плоские. Аналогично с плоской электромагнитной волной в случае гравитационного излучения требуют, чтобы метрический тензор пространства-времени обладал группой движений размерности пять которая не меняет изотропную гиперповерхность в описывающую фронт волны с постоянной амплитудой .

уже говорилось выше, такой интерес к проблеме связан с возможным экспериментальным исследованием волн наряду с их теоретическим описанием. Здесь также используются различные методы. Например, в гравитационные волны в пространстве с отличным от нуля кручением в теории с лагранжианом специального вида, состоящим из линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана, одного из шести возможных квадратов тензора кривизны и всех возможных квадратов тензора кручения. В волны кручения исследовались на фоне плоского пространства в теории с квадратичным по кривизне лагранжианом. А в работе для анализа волновых точных решений используется спинорный метод. Здесь были найдены волны кручения для 2-формы кручения алгебраически специального ]Ч-типа. Стоит отметить, что здесь, в отличие от работы , где предполагалось, что 1-форма конторсии должна быть пропорциональна 0°, что позволило свести значительную часть уравнений поля в вакууме к алгебраическим соотношениям, в работе изначально накладывались более строгие ограничения на структуру кручения, а, конкретно, предполагалось, что кручение связано с главным изотропным направлением метрики, и конторсия не изменяет алгебраической структуры связности, откуда следует, что только одна компонента бесследового спинора кручения может быть отличной от нуля. Тогда уравнение гравитационного поля сводится к системе одного вещественного и одного комплексного линейных уравнений с постоянными коэффициентами для функции метрики и компонент кручения. И в отличие от уравнений гравитационного поля в нелинейные слагаемые в уравнениях исчезают, что позволяет применять методы линейной теории. В работе рассматриваются гравитационные волны в двумерной Пуанкаре калибровочной теории гравитации. Здесь кручение неприводимо и содержит

только векторную часть. Особый интерес вызывает случай, когда компонента кручения тесным образом связана с космологической константой Л. Тогда уравнения поля сводятся к волновому уравнению для тетрад, решением которого является метрика, представляющая аналог плоской волны в четырехмерной теории гравитации .

Нельзя не упомянуть, что достаточно много работ, например, — , посвящены поиску точных решений уравнений поля в вакууме в теории с квадратичным по кручению и кривизне лагранжианом без линейной части. Здесь используется техника спиновых коэффициентов, изначальное наложение ограничений на форму тензора конторсии. Например, в считается, что тензор конторсии антисимметричен, тогда кручение описывается одной комплексной и двумя чисто мнимыми компонентами. После чего показывается, что любое решение уравнений поля квадратичной калибровочной теории в вакууме с полностью антисимметричным тензором конторсии, описанным в тензорах изотропного вектора, риманова часть которого является решением уравнений Эйнштейна в вакууме с космологической постоянной, имеющей алгебраический тип 14, с автопараллельной главной изотропной конгруенцией без растяжения, вращения и сгиба. А в уже изначально предполагается, что тензор конторсии псевдосимметричен. Здесь показывается, что любое решение уравнений поля квадратичной Пуанкаре калибровочной теории в вакууме с тензором конторсии, описанным в терминах изотропного вектора, риманова часть которого является решением уравнений Эйнштейна в пустоте с космологической постоянной, имеющей алгебраический тип с автопараллелыгой главной изотропной конгруенцией без растяжения, вращений и сгиба. В пространствах данного типа кручение представляет распространяющуюся плоскую волну кручения с за-

паздывающей изотропной координатой времени. А вот в основным методом исследования является метод спиновых коэффициентов. Первоначально накладываются ограничения не только на форму кручения, но и на тензор кривизны. Кручение описывается двумя комплексными компонентами и одной чисто мнимой компонентой. Также предполагается, что риманова часть тензора Риччи равна нулю, что дает возможность метрике соответствовать вакуумному решению ОТО, и обобщенный тензор Вейля имеет алгебраический тип III или N. Все эти ограничения приводят к тому, что кратная главная изотропная конгруенция является геодезической без растяжения, вращения и сдвига. Из этого делается вывод, что пространство V4 найденного типа принадлежит к кундтов-скому классу плоскофронтовых гравитационных волн. В получены ограничения на константы связи квадратичного лагранжиана, которые позволяют ударным волнам распространяться в пространстве с кручением. Кстати, ударные волны при этом могут распространяться только вдоль изотропных гиперповерхностей. Одно из полученных условий исключает так называемое условие «жизнеспособности» , что дает возможность распространения тахионной ударной волны. В показано, что возникновение таких нефизических полей кручения связано с теми частями связности Леви-Чивита, которые вертикальны на гиперповерхности распространения ударных волн. Распространение тахионной ударной волны противоречит предположению о том, что полное поле кручения является динамическим, и любая его компонента измерима. Напомним, что это предположение лежит в основе Пуанкаре калибровочной теории. В была предпринята попытка разрешения возникшей проблемы возникновения нефизических полей с помощью 3+1 разложения пространства-времени. Но открытой осталась проблема измерения

нединамических полей.

Итак, исследование волн кручения в большинстве работ проводится путем изначального введения ограничений на основные структуры пространства — кривизны и кручения.

Целью данной работы является исследование структуры непрерывных компонент кручения, зависящих от 4-х произвольных функций, при распространении в виде плоских волн в пространстве Римана-Картана.

Стоит отметить, что в работе изначально не вводится никаких ограничений на форму кривизны и кручения. Наоборот, структура 2-формы кручения пространства волнового типа непосредственно вытекает из условий симметрий, которым должны удовлетворять такие волны.

Построение современной пуанкаре-калибровочной теории гравитации основано на существенном использовании нелинейных по кривизне и кручению лагранжианов — . Использование квадратичных лагранжианов в теории гравитационного поля стимулируется также построением перенормируемой теории гравитации в пространстве Римана-Картана. Большинство квадратичных теорий гравитации в пространстве Римана-Картаиа могут быть описаны как частные случаи общего 10-параметри-ческого лагранжиана, введенного в , в виде суммы линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей тензоров кривизны и кручения.

На современном этапе теория гравитации описывается на языке внешних дифференциальных форм Картана. Мы будем использовать вариационный формализм на языке внешних форм, основываясь на лемме, сформулированной и доказанной в , о коммутации операторов варьирования и дуализации Ходжа.

В пространстве Римана-Картана получение уравнений гравитацион-

ного поля может быть осуществлено несколькими методами. Данные уравнения могут быть получены как частный случай уравнений поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении условия метричности (согласованности метрики и связности) после варьирования и получения уравнений поля. Другой метод состоит в получении этих уравнений при наложении условия метричности до вариационной процедуры с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Наконец, третий метод состоит в явном разрешении условий метричности и построении лагранжиана гравитационного поля непосредственно в пространстве Римана-Картана. Одной из целей данной работы является обоснование эквивалентности последних двух методов варьирования и неэквивалентности этих методов первому методу.

Сформулируем кратко структуру работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются основные понятия теории гравитации в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм. Сделан вывод, что в данном формализме 10-параметрический квадратичный лагранжиан представляется в виде суммы линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей 2-форм кривизны и кручения в пространстве иПриводится исследование связи этого лагранжиана с другими квадратичными лагранжианами, имеющими место в теории гравитации. Во втором параграфе первой главы рассматривается вариационная процедура в формализме внешних дифференциальных форм. Рассматривается доказательство леммы о коммутационном соотношении между операцией дуализации Ходжа и операциями получения вариационной производной. Лемма необходима

для проведения новым методом вариационной процедуры в рамках внешних дифференциальных форм. В третьем параграфе первой главы выводятся уравнения поля квадратичной теории гравитации в пространстве Римана-Картана на языке внешних дифференциальных форм.

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена вариационному подходу к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм в общем аффинно-метрическом пространстве. В первом параграфе рассмотрены основные понятия теории гравитации в общем аффинно-метрическом пространстве в формализме внешних форм. Второй параграф посвящен анализу различных подходов к методу получения уравнений поля в пространстве Римана-Картана.

Отметим, что в пространстве Римана-Картана получение уравнений гравитационного поля может быть осуществлено несколькими методами. Данные уравнения могут быть получены как частный случай уравнений поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении условия метричности (согласованности метрики и связности) после варьирования и получения уравнений поля. Другой метод состоит в получении этих уравнений при наложении условия метричности до вариационной процедуры с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа.

Наконец, третий метод состоит в явном разрешении условий метричности и построении лагранжиана гравитационного поля непосредственно в пространстве Римана-Картана. В данном параграфе проводится обоснование эквивалентности последних двух методов варьирования и неэквивалентности этих методов первому методу.

Главные результаты диссертации изложены в третьей главе, в которой проводится исследование плоских волн кручения в пуанкаре-калибровочной

в теории гравитации. Здесь рассмотрены плоско-фронтовые волны; доказаны теорема о структуре кручения и теорема, выявляющая условия существования плоских волн кручения; сформулировано и доказано следствие о распространении неприводимых частей кручения в виде плоских волн, где кванты этих волн обладают нулевой массой покоя.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Глава 1

Вариационный подход к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм

1.1. Основные понятия теории гравитации в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм

Для начала определим, что под пространством Римана-Картана поля 3-форм т)а, 2-форм г)аЪ, 1-форм 7]аЬс и 0-форм r]abcd определены в следующем виде:

Dg ab = dgab — Г сьдА — Г съдас = -2Г(аЬ) = 0

(1.1.3)

Га6 = —Г Ъа

(1.1.4)

Г)а = еа] Г] = *0а,

Vabc = ecJ 7)аЬ = *{ßa A 9b А 0С),

Vab = еЪ\ 7]а = * {ва А вЬ) (1.1.5)

Vabcd = ed\ rjabc = *(ва А 0b А 6с А 9d), 16

еаЛт)ь = 6%г1, ваАщс = -2бр1ф

0й А 1]аЬс = 3б^Чьс], в? Л Г)аШ = -4б{аГ)Ьс(1],

где * — оператор дуального сопряжения Ходжа — . В пространстве Римана-Картана и4 2-формы кривизны 71аь и 2-формы кручения Та могут быть разбиты на части, которые являются неприводимыми представлениями группы псевдо ортогональных преобразований четырехмерного пространства-времени. В пространстве-времени :

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

ПаЪ = ПаЪ + паЬ + паЬ + ^аЬ + ^аЪ + ^ (1.1.7)

где

(2) (3)

ПаЬ = — * (в) , ПаЬ = * (X Л ва Л вь),

(4) (5)

ПаЬ = -в, п*ь = -\9{а Л е6]] (0е Л И^),

(6) 1 (1) 6 (п)

каЪ = -т^» Л вь, паЪ = ПаЬ — (1.1.8)

п=2

использованы обозначения

:= еь] IV := еь\ \¥ь, Ха := * (ЯаЬ А вь) ,

X := еа\ Фа := Ха — — I е,] Л Хь) ,

Фа := Ж, — -и?еа — 1 еа] Л ИЪ) , (1.1.9)

Кручение имеет следующий вид разложения на неприводимые части:

(1) (2) (3)

Та = га + Та + Та, (1.1.10)

где Та — бесследовая часть, (2)

Та — след, (3)

Та — псевдослед. На основе задаются:

И 1

(3)

Та = -вал(еь\Ть) (1.1.11)

(3) 1

Та = —*{ва Л*(ть Лвь)} (1.1.12)

О

(1) (2) (3)

Та = Та -Та-та (1.1.13)

при этом неприводимые слагаемые кручения обладают свойствами :

(1) (2) Та Ава = 0, Та Ава = 0

(1) (3)

еа] Та = 0, еа\ Та = О

(1)\ /(1)\ ( (2)\ Лз)\ ( (з) \ /(2) * 7~а ) = * ( Та ] , (*Та = * Та , (*Та =*1Та

(1.1.14)

Получается, что в формализме внешних форм общий 10-параметрический квадратичный лагранжиан представляет собой сумму линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей 2-форм кривизны и кручения в пространстве £/4:

6 (г) (0 3 ({) •

с = /о7гаьд^+^л{7гаЬд*7гаЬ + ^хгГад*га (1.1.15)

г=1 г=1

где /о = 1/(2Л) (/с = 8тгС/с4)

Ai, «Xi ~~ константы взаимодействия

(г) — индекс над формой, который перечисляет все неприводимые компоненты кривизны и кручения.

Данный лагранжиан подробно рассмотрен в работах , — и

Теперь преобразуем (1.1.15) к виду, более удобному для проведения процедуры варьирования. С этой целью рассмотрим отдельно каждое из квадратичных слагаемых (1.1.15).

Итак, для квадрата следа кручения получим следующее выражение:

Та А * Та = ~ {Та А вь) А * (‘ТЪ А ва) + Х-Та А *Та (1.1.16) Для квадрата псевдо следа: (3) (3) 1

ТаА*Та = -(ТаА ва) А * (ТЬ А вь) (1.1.17)

О

Для второй неприводимой части кривизны: (2) (2) 1

КаЬ А * ПаЬ = — (Rab А 9а) А * (R\ А 0Г) +

((Rab А ва А вь) А * (Rnt А вп А et) — 2 (R\ Ава А в9) А * А 0t А вь))

(1.1.18)

Квадрат третьей неприводимой части кривизны: (3) (3) 1

ПаЪ А * ПаЬ = (Rab А ва А вь) А * (Rtn А вп А 9t) (1.1.19)

Итак, разложим слагаемое лагранжиана (1.1.15), квадратичное по четвертой неприводимой части кривизны:

(4) (4) 1

паЬ л*паЬ = — (я\ л *яьа — (яаЬ л ¿у л * {я\ л вг)) +

(ЯаЬ А вг А вп) А * (Я111 ЛваЛ вь) + (1.1.20)

+\ {Я\ А да А О3) А * (Л*в А 0г Л Аналогично, для пятой неприводимой части:

(5) (5) 1 1

КаЬ А*11аЬ = — {П\ А 9а А 0″)Л* (7^ Л вь А 9Ь)+- (ПаЬ А 0а)Л* (7^ Л 0Г)

(1.1.21)

Шестая неприводимая часть имеет вид: (6) (6) 1

11аЬА *ЦаЬ = -— (ЯаЬ АвпА91)А* (Яы А 9а А 9Ь) +

(.Яа ъ А 0Р) А * (Я? а А 9Ь) + (1.1.22)

+±Яа ъА*ЯЬа Подставим (1.1.16) — (1.1.22) в (1.1.15), получим:

С = А Г)Ъа + Т{Я\ А *тг6а+ +т2 (КаЬ А 9а) А * (7гс6 Л 0С) + +т3(КаЬА9с) А*71сьА9а) +

+т4 (7гаь Л 9а А 9Ь) А * (Псй А 9С А вА) + (1.1.23)

+т5 (■А 9а А 9а) А * (Пса А 9с А 9Ь) +

+тб (А 9С А 9й) А * (Кса А 9а А 9Ь) + в1Га А *Та+

+92{Та А 9а) А *{ТЬ А вь) + д3(Та А 9Ь) А *{ТЬ А 9а)

где 7*1 — те, д\— бз~ константы взаимодействия, связанные с константами взаимодействия лагранжиана (1.1.15) следующими соотношениями:

Т1 = (2А1 + ЗЛ4 4- Лб), т2 = 1(-Х1 + Л2 — Л4 + Л5), т3 = ±(А1 — Л6), т4 = ¿(2Л1 — ЗЛ2 + А3), т5 = |(-Л1 + Л2 + Л4 — Л5), 61 = + Х2), 62 = \{~Х1 + Хз), 0ъ = \{Х1-Х2)-

(1.1.24)

Из (1.1.23) через константы (1.1.15) легко получить обратные соотношения:

XI = 61+ вз, Х2 = б1~2бз, Хз = ~3б2 + 61 + 6з, (1.1.25)

А1 = — 7~1 + 2 Тб + Г3, Л2 = -Г! + 72 + г3 + 75 + 2гб,

Аз = -71 + Зт2 + т3 — 12г4 + Зт5 + 2тб, Л4 = -тх — 2тб,

Л5 = Т\ + т2 — т5 — 2гб, А6 = Т\ — 2т3 + 2г6.

Видно, что в компонентной форме лагранжиан (1.1.23) совпадает с лагранжианом Хаяши : С = Х?7, где

£ = /оД + ДаЬссг (/]_ЯаЬсс1 + /г^асЬс? + /з^сйаь) +

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *