Пойти от противного

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — метод доказательства теоремы, состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а теорему, противоположную обратной теореме, т. е. доказывают теорему, эквивалентную данной. Д.о.п. используют всякий раз, когда прямую теорему доказать представляется затруднительным. При доказательстве теоремы методом от противного заключение теоремы заменяют отрицанием и путем рассуждения приходят к отрицанию условия, т. е. к противоречию, к «противному» (противоположному) тому, что дано; такое приведение к абсурду, к нелепости и доказывает теорему.

Д.о.п. теоремы равносильно доказательству теоремы , где — отрицание , — отрицание (т. е. не ).

Д.о.п. широко применяется в школьном курсе математики. Так, метод Д.о.п. используется при доказательстве утверждений: а) — иррациональные числа; б) если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересечет и другую плоскость.

Д.о.п. основано на законе исключенного третьего, заключающегося в том, что из двух утверждений (высказываний) и одно из них истинно, а другое — ложно.

Лат.: ad absurdum — к нелепости (приведение к нелепости).

См. также: Доказательство, Теорема, Обратная теорема, Противоположная теорема, Индукция математическая.

В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме. «Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».

Не лучше было бы открыто заявить о том, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и только тогда, когда ему нет замены.

Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) — теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров ; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.

Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.

Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е. Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.

Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е, дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е.

В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е. Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.

Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено.

Согласно толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)». Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.

Дано: из А следует Е и из А не следует Е.

Доказать: из А следует Е.

Доказательство: Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е.

Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е. Утверждение из А следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.

Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.

Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.

Дано: А .

Доказать: из А следует Е.

Доказательство.

1. Из А следует Б (по ранее доказанной теореме).

2. Из Б следует В ( по ранее доказанной теореме)).

3. Из В следует Г ( по ранее доказанной теореме).

4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).

5. Из Д следует Е ( по ранее доказанной теореме).

На основании закона транзитивности, из А следует Е. Прямая теорема доказана обычным методом.

Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А.

Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.

Дано: Е

Доказать: из Е следует А.

Доказательство.

!. Из Е следует Д ( по ранее доказанной обратной теореме).

1. Из Д следует Г ( по ранее доказанной обратной теореме).

2. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).

3. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А.

В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.

Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.

Обратная теорема утверждает: из Е не следует А. Её условие Е, из которое следует заключение А, является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А. В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А. Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.

В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.

Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А, в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А, которое доказано доказательством прямой теоремы.

Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А, что и требовалось доказать.

Вывод: логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.

Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.

Дмитрий Абраров в статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству большой теоремы Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доказывает большую теорему Ферма с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма xn + yn = zn, где n > 2, с другим, совершенно непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задаётся специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задаётся уравнением совсем несложного вида:
y2 + x (x — an) (y + bn) = 0.

«А именно Фрей сопоставил всякому решению (a, b, c) уравнение Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению an + bn = cn, указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы великая теорема Ферма».( Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»)

Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма xn + yn = zn, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y2 + x (x — an) (y + bn) = 0, которое задаётся его эллиптической кривой.

Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.

Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.

В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение , xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах.

Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах.

Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.

Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.

Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах.

В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно.

Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.

По словам Д. Абрарова, самый известный из современных российских математиков академик В. И. Арнольд на доказательство Уайлса отреагировал «активно скептически». Академик заявил: «это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой».( Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»). Заявление академика выражает самую сущность нематематического доказательства Уайлса большой теоремы Ферма.

Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.

Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.

Математика, от мамонтов до наших дней << Оглавление >> Формальные доказательства

Доказательство от противного – мощный и часто используемый в математике метод. Предположив, что некоторый факт (объект) является истинным (существует), и придя к противоречию, мы заключаем, что факт ложен (объект не существует). Рассмотрим несколько примеров.

Теорема Евклида о бесконечности простых чисел является классическим и самым простым рассуждением от противного:

Не существует самого большого простого числа .

: Пусть это не так, и самое большое простое число существует. Построим число . Оно не делится ни на одно , и больше чем . Мы пришли к противоречию, следовательно, самого большого простого числа (как объекта!) не существует и простых чисел бесконечно много.

Заметим, что не обязательно простое, так как его простой множитель может находится между и , но всё равно будет большим .

Теорема об иррациональности

Не существует натуральных и , таких, что .

: Пусть это не так. Сократим общие множители у , , и возведём всё в квадрат: . Отсюда следует, что является чётным числом, поэтому тоже чётно и представимо при помощи некоторого натурального , как . Подставляя в исходное соотношение, получаем , а, следовательно, и чётно. Но это противоречит тому, что мы сократили все общие множители, а значит таких и не существует.

Психологическая убедительность обоих доказательств не вызывает сомнений. Тем не менее, необходимо помнить, что получив противоречие, мы не всегда доказываем то, что хотим доказать. Противоречие не обязательно свидетельствует об ошибочности исходной посылки. Его может дать любое из утверждений использовавшихся при доказательстве. Особенно их много в теореме об иррациональности . Однако, они на столько «очевидны», что мы считаем ошибочной именно исходную посылку.

Видно, что схема доказательства приведенных теорем одинаковая. Мы показываем, что некоторый объект не существует, если предположение о его существовании приводит к противоречию.

Проблема Брадобрея. В некоторой деревне все мужчины бреются либо сами, либо у брадобрея. Брадобрей (мужчина) бреет только тех, кто сам не бреется. Сформулируем теорему:

Брадобрей бреет себя сам.

Пусть это не так, и брадобрей себя не бреет. Тогда он должен бриться у брадобрея. Значит брадобрей бреет себя.

Сделав отрицание теоремы, и получив противоречие, мы должны прийти к выводу, что теорема верна. Но совершенно ясно, что это не так, и мы можем построить не только обратное доказательство, но и прямое: «если брадобрей бреется сам, то он не может бриться у брадобрея …». В этом случае вновь получается противоречие.

Приведенное описание деревни со строгими правилами принадлежит Бертрану Расселу, как популярная формулировка проблем, возникающих в попытке определить «множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента». Мы умышленно явный парадокс представили в виде теоремы, чтобы продемонстрировать простой факт: Получение противоречия в доказательстве от противного может свидетельствовать не об истинности теоремы, а о противоречивости объектов которые участвуют в её формулировке. Другими словами, нельзя сказать: «возьмём множество всех множеств …» и докажем «теорему о том, что …» Сначала необходимо убедиться, что объект, о котором будет идти речь в теореме, существует. В частности, деревня, описанная Расселом, существовать не может. Конечно, возникает вопрос – «а что значит существовать или не существовать, и где не существовать?» Есть объект, определённый выше, и мы можем использовать его при построении новых объектов и теорем о них…

Дело в том, что математическое рассуждение явно или не явно исходит из некоторых аксиом. Именно аксиомы задают свойства объекта. Если в фиксированной системе аксиом поменять хотя бы одну аксиому, может получиться объект с совершенно другими свойствами. Понятно, что произвольно задавать аксиомы нельзя. Они не должны быть противоречивыми, иначе никакого объекта определять не будут. Или, другими словами, – объект определяемый при помощи противоречивых аксиом не существует.

Подробнее мы обсудим элементы формальных аксиоматических систем в следующем разделе, где снова проанализируем проблему брадобрея. Сейчас же рассмотрим ещё одну версию того же парадокса.

Проблема Библиотекаря. Существует Библиотека с книгами. Любая книга внутри своего текста может упомянуть сама себя (например, в списке литературы привести свое название). Соответственно все книги можно разделить на две группы. В первую попадают книги, которые на себя не ссылаются, а во вторую – ссылающиеся на себя книги. Кроме этого, существуют две книги, являющиеся каталогами всех книг Библиотеки. Первый каталог перечисляет все те книги, которые на себя не ссылаются, а второй, наоборот – все ссылающиеся на себя книги:

Сформулируем теперь теорему:

Первый каталог содержит

в списке книг себя.

Пусть это не так. Тогда первый каталог содержится во втором (все книги перечислены в обоих каталогах и каталог есть книга). Но во втором каталоге перечисляются только самоссылающиеся книги, и первого каталога там быть не может. Мы пришли к противоречию, следовательно теорема верна.

Если мы остановимся на этом этапе, то получим заведомо неверный вывод. Понятно, что первый каталог на себя ссылаться не может (он является каталогом не самоссылающихся книг). Как и в случае с брадобреем, мы можем провести как обратное доказательство (от противного), так и прямое. И оба раза получить противоречие.

О чём оно говорит? Понятно, что не об истинности или ложности теоремы. Веря в то, что два различных доказательства должны всегда приводить к одному и тому же, мы вынуждены сделать вывод: объект Библиотека, c заданными свойствами, существовать не может.

Любая ссылка на «естественность» или «видимую не противоречивость» исходных определений не достойна математика, так как это уже эмоции. Единственный путь – попытаться уйти от психологических формулировок и доказательств к формальным.

Парадокс лжеца. Вся математика состоит из логических утверждений. При этом логика математики бинарна. Утверждение «» или истинно или ложно. Третьего не дано. Именно эта бинарность придаёт математическому доказательству ту чудесную убедительность, ради которой всё и затевалось. Введем обозначение того, что некое логическое утверждение является истинным:

.

На самом деле обозначение излишне, так как записывая в качестве аксиомы или посылки некоторое утверждение , мы предполагаем его истинность. Однако, такое обозначение будет удобно для дальнейшего. Определим высказывание:

, где «» – знак логического отрицания, а после двоеточия идёт определение утверждения . Оно является вариантом парадокса лжеца: » – истинно, если не истинно «. Сформулируем следующую теорему: Утверждение L является истинным: L=И. пусть L=Л => True(L)=Л => L=True(L)=И.

(Далее «» означает логический вывод; «И» – истина, «Л» – ложь). В доказательстве от противного, мы пришли к противоречию. Поэтому исходная посылка не верна и, следовательно, теорема верна. Однако понятно, что это не так. Мы можем провести доказательство и в прямом направлении:

пусть L=И => True(L)=И => L= True(L)=Л

и снова прийти к противоречию. Таким образом, мы не способны ни доказать ни опровергнуть теорему и ходим по замкнутому кругу.

Причина этого, как и раньше, состоит в том, что объект используемый при формулировке теоремы противоречив и, следовательно, не может существовать. Второй вопрос, почему объект , построенный столь «конструктивным» образом, не существует? Вокруг парадокса лжеца ломают копья со времен древних греков. Самое простое объяснение состоит в том, что при определении используется бесконечная рекурсия. Объект определяется сам через себя и при этом, говоря языком программирования, нет точки остановки этой рекурсии. Например, компьютер не смог бы оперировать с таким определением и просто «завис» бы. Это же рискует сделать и человек пытающийся глубоко вдуматься в . Поэтому, такое построение (определение) объекта просто некорректно.

Математика, от мамонтов до наших дней << Оглавление >> Формальные доказательства

Истинность и доказуемость — о конструктивной математике, Канторе и Гёделе

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *